Комбінаторика – це що таке? Елементи комбінаторики

Розміщення, перестановки й сполучення

У прикладах вище рішення завдань відбувалося так званим аксиоматическим методом. Тобто, можна говорити, що існує ряд основних завдань, до вирішення яких можуть зводитися багато проблем. Однак точно також як в стереометрії незручно вирішувати завдання, грунтуючись виключно на аксіомах, і для цього використовується більш зручний інструмент під назвою “теорема”, так і в комбінаториці зручніше використовувати більш узагальнені та доведені методи. У ході багатовікового вивчення комбінаторики стало очевидним, що ряд завдань зустрічається набагато частіше інших, і вони були виділені в окремі класи і отримали свої назви, ставши в комбінаторики основними, а саме: розміщення, перестановки й сполучення.

Проблеми комбінаторики

Однією з ключових проблем комбінаторних методів є визначення того, яке коло завдань слід вважати комбінаторні. Строго визначити цього не можна із-за дуже великої різноманітності проблем, які потрапляють в категорію комбінаторних. І потім, багато завдань можуть відноситься як комбінаториці, так і до іншої області, будучи суміжними або прикордонними.

У спрощеному випадку можна виділити, що до комбінаторної математики відносяться завдання, що припускають вибірки та розташування об’єктів. При цьому для комбінаторики характерна робота виключно з кінцевим безліччю об’єктів. Виходячи з цих положень, можна розмежувати такі, характерні для комбінаторики, завдання:

Скласти вибірку об’єктів з урахуванням будь-яких властивостей.

Довести або спростувати існування вибірки при певних умовах.

Знайти число можливих варіантів комбінацій.

Знайти всі комбінації і визначити алгоритм їх перерахування.

Знайти оптимальне рішення тієї або іншої задачі при заданих умовах.

Якщо розглянута задача може бути віднесена до одного з цих типів, то вона є комбінаторної і формули комбінаторики допоможуть її вирішити.