Задача про лото
Всім відома гра. Є мішок, у якому лежать бочонки з номерами від 1 до 90. Всім учасникам роздаються квитки, в яких потрібно зафарбувати деяка кількість клітин з числами. Після чого ведучий лото дістає з мішка один з пронумерованих діжок. Переможцем буде той, у кого в квитку закреслено найбільше чисел, що збігаються з тими, які витягнув ведучий гри.
Як-то раз Ніна, граючи в лото, задумалася. Вона часто спостерігала, як ведучий дістає з мішка один і той же номер. Але в той же час перші два барила виявлялися однаковими значно рідше. Тоді вона задалася питанням, скількома способами можна послідовно дістати з мішка два барила? Елементи комбінаторики допомагають відповісти на її питання.
Рішення задачі про лото
Очевидно, перший бочонок може мати номери від 1 до 90. Іншими словами, існує 90 способів отримати перший бочонок. Але як йдуть справи далі? Якщо, припустимо, барило №63 було витягнуто з мішка, то в поточній грі він більше не повториться.
Вирішити поставлену задачу нам допоможе метод таблиці. Де в головній рядку і в заголовному стовпці будуть виписані номери від 1 до 90. Таким чином, на перетин якої-небудь рядка і якого-небудь стовпця виявиться пара чисел, або пара вилучених з мішка діжок. При цьому на діагоналі таблиці будуть розташовуватися однакові пари чисел. Що неможливо за умовою, так як після вилучення однієї цифри з мішка, її повторення неможливо. Вийде таблиця наступного вигляду:
| 1 | 2 | … | 90 | |
| 1 | x | 1, 2 | … | 1, 90 |
| 2 | 2, 1 | x | … | 2, 90 |
| … | … | … | x | … |
| 90 | 90, 1 | 90, 2 | … | x |
Разом отримуємо таблицю, у якій кількість клітинок дорівнює 90*90 = 8100. При цьому варто пам’ятати, що по діагоналі розташовується 90 пар цифр, неможливих умов. Тоді відповіддю на питання про те, скількома способами можна дістати з мішка 2 барильця – 8100 – 90 = 8010 варіантів.
Розмірковуючи трохи іншим способом можна прийти до такого ж відповіді. Для першого барильця існує 90 варіантів. Після того як перший був витягнутий, для другого барильця залишиться 89 варіантів. Таким чином, загальна кількість варіантів складе 90*89 = 8010. Елементи комбінаторики можуть застосовуватися різними шляхами. Питання лише в простоті і універсальності методу. Так, наприклад, метод таблиць можна використовувати для видобутих трьох поспіль діжок і, очевидно, це буде межа. А що для чотирьох і більше?
