Приклад 1
Дано рівняння l2 + ml + m2l’ + m2 = 0. Знайдемо його рішення. Недосвідчений погляд може помилково квапливо укласти, що дане рівняння не однорідно, так як підстановка km замість m і kn замість n не дає вихідне рівняння. Помилка в даному випадку полягає в тому, що рівняння попередньо не було розв’язане відносно похідної n’. Зробимо.
| l’ = | (-1) | l2+ml+m2 |
| m2 |
У даному вигляді легко визначити, що рівняння однорідне.
| f(km, kl) = | (-1)[(km)2 + (kl)2 + k2ml] | = | (-1)(l2+ml+m2)k2 | = | f(m, l) |
| (km)2 | m2k2 |
Приступимо до вирішення, зробивши заміну l/m = v. Отримаємо l = vm і l’ = mv’ + v. Підставимо ці значення у рівняння:
| mv’ + v = | (-1)[m2 + (vm)2 + m(vm)] | = | (-1)(v2m2+m2v+m2) | = 1 – v2 – v |
| m2 | m2 |
Отримаємо mv’ = – (v+1)2. Очевидно, що точка -1 – ‘nj рішення рівняння, а до заміни n = -m. При v+1 не дорівнює нулю розділимо змінні:
| – | dv | = | dm |
| (v+1)2 | m |
З отриманого рівняння в диференціальній формі легко знаходиться загальний інтеграл:
| ln|Cm| | = | 1 |
| 1+v |
Проведемо зворотню заміну:
| n | = | m – m*ln|Cm| |
| ln|Cm| |
Також слід не забувати про знайдений раніше рішення n = -m.
