Однорідне диференціальне рівняння: особливості та рішення

Лінійні диференціальні рівняння

Часто однорідні диференціальні рівняння плутають з лінійними. Для повноти питання розглянемо і цей клас. Отже, лінійним називається диференціальне рівняння, в якому функція і її похідна розташовуються в лінійній залежності, тобто одержуємо рівняння, якому властивий наступний вигляд:

• o(x)y’ + w(x)y = e(x);

w, o, e – являють собою які-небудь функції.

Для вирішення цього рівняння відносно y’ необхідно розглянути всі корені o(x). Припустимо, що для деякого числа o(x0) = 0, тоді одним з рішень описаного рівняння буде x0, т. к. отримуємо o(x0)dy = 0 і dx = 0. Це стає очевидним, якщо записати диференціальну форму рівняння, помноживши на dx обидві частини: o(x)dy + w(x)ydx = e(x)dx.

Виключивши нульові значення o(x), для решти значень x записуємо рівняння в дозволеному вигляді, поділивши його на o(x).

Рішення лінійних диференціальних рівнянь

В даному класі рівнянь є два варіанти. Перший – коли вільний член p(x) дорівнює нулю (однорідне), і другий – коли p(x) не дорівнює нулю (неоднорідне). Отже, у нас є два таких випадки:

• y’ + r(x)y = 0 – однорідне рівняння.
• y’ + r(x)y = p(x) – неоднорідне рівняння.

Однорідне легко приводиться до розділеному вигляді y’/y = -r(x) або dy/y = -r(x)dx. Після інтегрування виходить загальне рішення для однорідних рівнянь: y = Ce-r(x).

У загальному випадку лінійне рівняння (неоднорідне) вирішується в кілька етапів:

Спочатку вирішується відповідає заданому рівнянню однорідно: p(x) умовно прирівнюється до 0. Припустимо, що u – це шукане рішення, тобто ми маємо u’ + r(x)u = 0. Запам’ятаємо це тотожність.

Введемо в неоднорідному рівнянні заміну y = uv, тоді (uv)’ + (uv)r(x) = p(x). Провівши деякі перетворення, маємо v(r(x)u + u’) + uv’ = p(x). Згадуючи тотожність з пункту 1, отримуємо v’u = p(x). В даному випадку з v’ = p / u легко знаходиться первісна.

У результаті рішення неоднорідного складається з двох частин: u(C+V), де u – рішення однорідного з нульовою постійною, а V – первісна для співвідношення p/u.

Ще одна плутанина однорідних рівнянь виникає при розгляді однорідних систем рівнянь. Однак це інше питання, розгляд якого виходить за межі даної статті.