Проаналізуємо один із важливих класів диференціальних рівнянь, які вирішувались зведенням до методу розділення змінних за рахунок підстановки – однорідні рівняння. Торкнемося методи рішення лінійних рівнянь, які часто плутають з однорідними.
Однорідні рівняння
Для початку дамо визначення. F – однорідна в тому випадку, якщо для неї вірно рівність f(kx, ky) = f(x, y), де k – будь-яке ненульове число. Приклади однорідної функції:
| F = | g3+r3 | A = | d2 + w2 |
| 3g3 + 5r2g | 2dw |
Щоб переконатися в їх однорідності, досить аргументи функції F або A помножити на коефіцієнт і подивитися, чи не скоротиться.
Заміна e(t) = f(1, t)
Вище говорилося про те, що диференціальні рівняння з однорідними функціями зводяться до разделяющимся за рахунок заміни. Для пояснення цього розглянемо лемму.
Лема 1. Якщо w – однорідна функція першого ступеня з аргументами x і y, то вірно тотожність w(x, y) = e(y/x), e(t) = f(1, t).
Доводиться дана лемма тривіальним чином: для цього просто потрібно покласти k = 1/x для всіх ненульових x.
