Рівняння вигляду dy/dx = q(y)p(x)
Розділення змінних, можна застосувати рівняння виду y’ = q(y)p(x). Потрібно тільки врахувати випадок, коли q(y) при деякому числі а звертається в нуль. Тобто q(a) = 0. У такому випадку функція y = a буде рішенням, оскільки для неї y’ = 0, отже, q(a)p(x) також дорівнює нулю. Для всіх інших значень, де q(y) не дорівнює 0, можна записати диференціальну форму:
- p(x) dx = dy / q(y),
інтегруючи яку, отримують загальне рішення.
Вирішимо рівняння S’ = t2(S-a)(S-b). Очевидно, коренями рівняння є числа a і b. Тому S=a S=b – рішення даного рівняння. Для інших значень S маємо диференціальну форму: dS/[(S-a)(S-b)] = t2dt. Звідки легко отримати загальний інтеграл.
Рівняння вигляду H(y)W(x)y’ + M(y)J(x) = 0
Дозволивши даний вид рівняння відносно y’ отримаємо: y’ = – C(x)D(y) / A(x)B(y). Диференціальна форма даного рівняння буде така:
-
W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0
Для рішення даного рівняння потрібно розглянути нульові випадки. Якщо а – корінь W(x), x = a – інтеграл, оскільки з цього випливає, що dx = 0. Аналогічно, з випадком, якщо b – корінь M(y). Тоді для області значень х, при яких W і M не звертаються в нуль, можна провести поділ змінних шляхом ділення на вираз W(x)M(y). Після чого вираз можна інтегрувати.
Безліч видів рівнянь, до яких на перший погляд неможливо застосувати поділ змінних, виявляються такими. Наприклад, у тригонометрії це досягається за рахунок тотожних перетворень. Також часто може бути доречною яка-небудь дотепна заміна, після якої можна буде використовувати метод розділених змінних. Типи диференціальних рівнянь 1 порядку можуть виглядати самим різним чином.
