Рішення
Нескладно здогадатися, що саме вважається рішенням диф. рівняння. Це функція, підстановка якої в рівняння дає тотожний результат по обидві сторони знака одно, називається рішенням. Наприклад, рівняння t”+a2t = 0 має розв’язок у вигляді t = 3Cos(ax) – Sin(ax):
| 1 | t’= | -3aSin(ax) – aCos(ax) |
| 2 | t”= | -3a2Cos(ax) + a2Sin(ax) |
| 3 | t”+a2t= | (-3a2Cos(ax) + a2Sin(ax)) + a2(3Cos(ax) – Sin(ax)) |
Провівши спрощення рівняння 3 ми з’ясуємо, що t”+a2t = 0 при всіх значення аргументу x. Однак варто відразу обмовитися. Рівняння t = 3Cos(ax) – Sin(ax) є не єдиним рішенням, а лише одним з нескінченної множини, яке описується формулою mCos(ax) + nSin(ax), де m і n – довільні числа.
Причина такого співвідношення полягає у визначення первісної функції в інтегральному обчисленні: якщо Q – первісна (точніше одна з багатьох) для функції q , то ∫q(x) dx = Q(x) + C, де С – довільна константа, що обнуляється при зворотній операції – взяття похідної функції Q'(x).
Опустимо визначення того, що таке рішення рівняння k-го порядку. Не важко уявити, чим більше порядок похідної, тим більше констант виникає в процесі інтегрування. Також слід уточнити, що описане вище визначення для рішення не є повним. Але для математиків XVII століття воно було достатнім.
Нижче будуть розглянуті лише основні типи диференціальних рівнянь першого порядку. Самі базові і прості. Крім них існують і інші диф. рівняння, однорідні, в повних диференціалах і Бернуллі. Але вирішення всіх часто пов’язано з методом разделяющихся змінних, який буде розглянуто нижче.
