Розділення змінних як спосіб вирішення
F = 0 – являє собою диф. рівняння порядку 1. При вирішенні даного типу рівнянь вони легко приводяться до вигляду y’ = f. Так, наприклад, рівняння y’ – 1 – xy = 0 приводиться до вигляду y’ = ln(1 + xy). Операція приведення диференціального рівняння до подібного виду називається його роздільною здатністю відносно похідної y’.
Після вирішення рівняння потрібно привести його до диференціальному вигляді. Це робиться шляхом множення на dx всіх частин рівності. З y’ = f виходить y’dx = fdx. З урахуванням того, що y’dx = dy, отримаємо рівняння у вигляді:
- dy = f dx – яке називається диференційною формою.
Очевидно, y’ = f(x) – найбільш просте диференціальне рівняння першого порядку. Його рішення досягається простим інтегруванням. Більш складним видом є q(y)*y’ = p(x), де q(y) – це функція, що залежить від y, а p(x) – функція, що залежить від x. Привівши його до диференціального увазі, отримаємо:
- q(y)dy = p(x)dx
Легко зрозуміти, чому рівняння називається розділеним: його ліва частина містить тільки змінну y, а права – тільки x. Вирішується таке рівняння з застосуванням наступної теореми: якщо у функції p існує первісна P, а у q – Q, то інтеграл дифура буде Q(y) = P(x) + C.
Вирішимо рівняння z'(x)ctg(z) = 1/x. Привівши це до диференціального рівняння виду: ctg(z)dz = dx/x; і взявши інтеграл від обох частин ∫ctg(z)dz = ∫dx/x; отримаємо рішення в загальному вигляді: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Заради краси дане рівняння за правилами логарифмів може бути записано в іншій формі, якщо покласти C = ln W – отримаємо W|sin(z)| = |x| або, ще простіше, WSin(z) = x.
