Логарифми та правила дій з ними досить ємні і прості. Отже, розібратися в даній темі вам не складе праці. Після того як ви дізнаєтеся всі правила натуральних логарифмів, будь-яка задача вирішиться самостійно. Перше знайомство з цією темою може здатися нудним і безглуздим, але саме за допомогою логарифмів зважилися багато проблем математиків XVI століття. “Про що це?” – подумали ви. Прочитайте статтю до кінця і дізнаєтеся, що цей розділ “цариці наук” може бути цікавий не лише математикам, вченим точних наук, але і простим учням середніх шкіл.
Визначення логарифма
Почнемо з визначення логарифма. Як свідчать багато підручники: логарифмом числа b по підставі a (logab) є якесь число, для якого виконується така рівність: b=ac. Тобто, кажучи простими словами, логарифм – певна ступінь, в яку зводимо підстава, щоб отримати дане число. Але важливо пам’ятати, що логарифм виду logab має сенс тільки при: a>0; a – число, відмінне від 1; b>0, отже, робимо висновок, що логарифм можна знайти тільки в позитивних чисел.
Класифікація логарифмів з підстави
Логарифми можуть бути з будь-яким позитивним числом в підставі. Але також існує два виду: натуральний і десятковий логарифми.
- Натуральний логарифм – логарифм з основою е (е – число Ейлера, чисельно приблизно дорівнює 2,7, ірраціональне число, яке ввели для показникової функції y = ex), позначається як ln a = logea;
- Десятковий логарифм – логарифм з основою 10, тобто log10a = lg a.
Основні правила логарифмів
Для початку треба познайомитися з основним логарифмічним тотожністю: alogab=b, далі йдуть два таких основних правил:
- loga1 = 0 – так як будь-яке число в нульовому дорівнює 1;
- logaa = 1.
Завдяки відкриттю логарифма для нас не складе труднощів вирішити абсолютно будь показово рівняння, відповідь якого не можна висловити натуральним числом, а тільки ірраціональним. Наприклад: 5х = 9, x = log59 (так як натурального х для даного рівняння не існує).
Дії з логарифмами
- loga(x · y) = logax+ logay – щоб знайти логарифм твори, потрібно скласти логарифми співмножників. Зверніть увагу на те, що основи логарифмів однакові. Якщо записати це у зворотному порядку, то отримаємо правило складання логарифмів.
- loga xy = logax – logay – щоб знайти логарифм приватного, потрібно знайти різницю логарифмів діленого і дільника. Зверніть увагу: підстави у логарифмів однакові. При запису у зворотному порядку отримуємо правило віднімання логарифмів.
- logakxp = (p/k)*logax – таким чином, якщо в аргументі підставі логарифма стоять ступеня, то їх можна виносити за знак логарифма.
- logax = logac xc – окремий випадок попереднього правила, коли показники ступенів рівні, їх можна скоротити.
- logax = (logbx)(logba) – так званий модуль переходу, процедура приведення логарифма до іншої основи.
- logax = 1/logxa – приватний випадок переходу, зміна місць підстави і даного числа. Всі вираз, образно кажучи, перевертається, і логарифм з новим підставою виявляється в знаменнику.
Історія виникнення логарифмів
У XVI столітті виникла необхідність проведення багатьох наближених обчислень для вирішення практичних завдань, головним чином, в астрономії (наприклад, визначення положення судна Сонця або зірок).
Ця потреба швидко зростала і значну складність створювало множення і ділення багатозначних чисел. І вчений-математик не пер при тригонометричних розрахунках вирішив замінити трудомістке множення на звичайне додавання, зіставивши для цього деякі прогресії. Тоді поділ, аналогічно, замінюється на процедуру простіше і надійніше – віднімання, а щоб витягти корінь n-го степеня, потрібно розділити логарифм підкореневого виразу на n. Рішення такої нелегкої задачі в математиці явно відображало мети Непера в науці. Ось як він писав про це на початку своєї книги “Рабдология”:
Я завжди намагався, наскільки дозволяли мої сили і здібності, звільнити людей від труднощів і нудьги обчислень, докучливость яких звичайно відлякує багатьох від вивчення математики.
Назва логарифма запропонував сам не пер, він був отриманий шляхом поєднання грецьких слів, які в поєднанні означали “число відносин”.
Підстава логарифма ввів Спейдел. Його запозичив Ейлера з теорії про ступені і переніс в теорію логарифмів. Поняття логарифмування стало відомим завдяки Коппе в XIX столітті. А використання натуральних і десяткових логарифмів, а також їх позначення з’явилися завдяки Коші.
В 1614 році Джон не пер видав латиною твір “Опис дивовижної таблиця логарифмів”. Там було викладено короткий опис логарифмів, правил і їх властивостей. Так термін “логарифм” утвердився в точних науках.
Операцію логарифмування і перша згадка про неї з’явилося завдяки Валлису і Йоганна Бернуллі, а остаточно вона була встановлена Ейлером у XVIII столітті.
Саме заслуга Ейлера в поширенні логарифмічної функції виду y = logax на комплексну область. У першій половині XVIII століття вийшла його книга “Введення в аналіз нескінченних”, де були сучасні визначення показникової і логарифмічної функцій.
Логарифмічна функція
Функція виду y = logах (має сенс, тільки якщо: а > 0, а ≠ 1).
- Логарифмічна функція визначається множиною всіх натуральних чисел, так як запис logах існує тільки за умови – х > 0;.
- Дана функція може приймати абсолютно всі значення з множини R (дійсних чисел). Так як у будь-якого дійсного числа b є позитивне x, щоб виконувалося рівність logaх = b, тобто, це рівняння має корінь х = аb (випливає з того, що logaab= b).
- Функція зростає на проміжку a>0, а убуває на проміжку 0<а<1.
- Якщо а>0, то функція приймає позитивні значення при х>1.
Слід пам’ятати, що будь-які графіки логарифмічної функції у = logах мають одну стаціонарну точку (1;0), так як logа 1 = 0. Це добре видно на ілюстрації графіка нижче.
Як бачимо на зображеннях, функція не має парності або непарності, не має найбільших або найменших значень, не обмежена зверху або знизу.
Логарифмічна функція y = logаx і показникова функція y = ах, де (а>0, а≠1), взаємно зворотні. Це можна бачити на зображенні їх графіків.
Рішення задач з логарифмами
Зазвичай рішення задачі, що містить логарифми, засноване на перетворенні їх у стандартний вигляд або ж направлено на спрощення виразів під знаком логарифма. Чи варто перекладати звичайні натуральні числа в логарифми з потрібним підставою, проводити подальші операції щодо спрощення виразу.
Є певні тонкощі, які не варто забувати:
- При вирішенні нерівностей, коли обидві частини стоять під логарифмами за правилом з однією підставою, не поспішайте “відкидати” знак логарифма. Пам’ятайте про проміжках монотонності логарифмічної функції. Так як, якщо підстава більше 1 (випадок, коли функція зростає) – знак нерівності залишиться без змін, але коли підстава більше 0 і менше 1 (випадок, коли функція убуває) – знак нерівності зміниться на протилежний;
- Не забувайте визначення логарифма: logах = b, а>0, а≠1 і х>0, щоб не втратити коренів через неврахованої області допустимих значень. ОДЗ (область допустимих значень) існує практично для всіх складних функцій.
При розв’язуванні логарифмічних рівнянь рекомендується користуватися рівносильними перетвореннями. Також, необхідно бути уважним та враховувати можливі перетворення, які здатні привести до втрати деяких коренів.
Це банальні, але масштабні помилки, з якими зіткнулися багато на шляху пошуку вірної відповіді для завдання. Правил рішення логарифмів не так вже й багато, тому ця тема простіше, ніж інші і наступні, але в ній варто добре розібратися.
Висновок
Дана тема з першого погляду може здатися складною і громіздкою, але, досліджуючи її глибше і глибше, починаєш розуміти, що тема просто закінчується, а складнощів так нічого і не викликало. Ми розглянули всі властивості, правила і навіть помилки, що стосуються теми логарифмів. Успіхів у навчанні!
