Знайти функцію f за деякою заданої залежності, в яку входять сама функція з аргументами та її похідні. Подібний тип завдань актуальний у фізики, хімії, економіки, техніки та інших областях науки. Подібні залежності носять назву диференціальних рівнянь. Приміром, y’ – 2xy = 2 – це диференціальне рівняння 1-го порядку. Подивимося, як подібні типи рівнянь вирішуються.
Що це?
Рівняння, яке виглядає наступним чином:
- f(y, y’, …, y(10), y(11), …, y(k), x) = 0,
носить назву звичайного дифура і характеризується як рівняння порядку k, і залежить воно від x і похідних y’, y”, … – аж до k-ї.
Різновиди
У випадку, коли функція, яку потрібно знайти, в диференціальному рівнянні залежна тільки від одного аргументу, тип диференціального рівняння називається звичайним. Іншими словами, в рівнянні функція f і всі її похідні залежать тільки від аргументу x.
При залежно же шуканої функції від декількох різних аргументів рівняння носять назву диференціальних в приватних похідних. У загальному випадку вони виглядають:
- f(x, fx’, …, y fy’…, z, …, fz”, …),
де під виразом fx’ розуміється похідна функції по аргументу x, а fz” – подвійна похідна функції по аргументу z, і т. д.
Рішення
Нескладно здогадатися, що саме вважається рішенням диф. рівняння. Це функція, підстановка якої в рівняння дає тотожний результат по обидві сторони знака одно, називається рішенням. Наприклад, рівняння t”+a2t = 0 має розв’язок у вигляді t = 3Cos(ax) – Sin(ax):
| 1 | t’= | -3aSin(ax) – aCos(ax) |
| 2 | t”= | -3a2Cos(ax) + a2Sin(ax) |
| 3 | t”+a2t= | (-3a2Cos(ax) + a2Sin(ax)) + a2(3Cos(ax) – Sin(ax)) |
Провівши спрощення рівняння 3 ми з’ясуємо, що t”+a2t = 0 при всіх значення аргументу x. Однак варто відразу обмовитися. Рівняння t = 3Cos(ax) – Sin(ax) є не єдиним рішенням, а лише одним з нескінченної множини, яке описується формулою mCos(ax) + nSin(ax), де m і n – довільні числа.
Причина такого співвідношення полягає у визначення первісної функції в інтегральному обчисленні: якщо Q – первісна (точніше одна з багатьох) для функції q , то ∫q(x) dx = Q(x) + C, де С – довільна константа, що обнуляється при зворотній операції – взяття похідної функції Q'(x).
Опустимо визначення того, що таке рішення рівняння k-го порядку. Не важко уявити, чим більше порядок похідної, тим більше констант виникає в процесі інтегрування. Також слід уточнити, що описане вище визначення для рішення не є повним. Але для математиків XVII століття воно було достатнім.
Нижче будуть розглянуті лише основні типи диференціальних рівнянь першого порядку. Самі базові і прості. Крім них існують і інші диф. рівняння, однорідні, в повних диференціалах і Бернуллі. Але вирішення всіх часто пов’язано з методом разделяющихся змінних, який буде розглянуто нижче.
Розділення змінних як спосіб вирішення
F = 0 – являє собою диф. рівняння порядку 1. При вирішенні даного типу рівнянь вони легко приводяться до вигляду y’ = f. Так, наприклад, рівняння y’ – 1 – xy = 0 приводиться до вигляду y’ = ln(1 + xy). Операція приведення диференціального рівняння до подібного виду називається його роздільною здатністю відносно похідної y’.
Після вирішення рівняння потрібно привести його до диференціальному вигляді. Це робиться шляхом множення на dx всіх частин рівності. З y’ = f виходить y’dx = fdx. З урахуванням того, що y’dx = dy, отримаємо рівняння у вигляді:
- dy = f dx – яке називається диференційною формою.
Очевидно, y’ = f(x) – найбільш просте диференціальне рівняння першого порядку. Його рішення досягається простим інтегруванням. Більш складним видом є q(y)*y’ = p(x), де q(y) – це функція, що залежить від y, а p(x) – функція, що залежить від x. Привівши його до диференціального увазі, отримаємо:
- q(y)dy = p(x)dx
Легко зрозуміти, чому рівняння називається розділеним: його ліва частина містить тільки змінну y, а права – тільки x. Вирішується таке рівняння з застосуванням наступної теореми: якщо у функції p існує первісна P, а у q – Q, то інтеграл дифура буде Q(y) = P(x) + C.
Вирішимо рівняння z'(x)ctg(z) = 1/x. Привівши це до диференціального рівняння виду: ctg(z)dz = dx/x; і взявши інтеграл від обох частин ∫ctg(z)dz = ∫dx/x; отримаємо рішення в загальному вигляді: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Заради краси дане рівняння за правилами логарифмів може бути записано в іншій формі, якщо покласти C = ln W – отримаємо W|sin(z)| = |x| або, ще простіше, WSin(z) = x.
Рівняння вигляду dy/dx = q(y)p(x)
Розділення змінних, можна застосувати рівняння виду y’ = q(y)p(x). Потрібно тільки врахувати випадок, коли q(y) при деякому числі а звертається в нуль. Тобто q(a) = 0. У такому випадку функція y = a буде рішенням, оскільки для неї y’ = 0, отже, q(a)p(x) також дорівнює нулю. Для всіх інших значень, де q(y) не дорівнює 0, можна записати диференціальну форму:
- p(x) dx = dy / q(y),
інтегруючи яку, отримують загальне рішення.
Вирішимо рівняння S’ = t2(S-a)(S-b). Очевидно, коренями рівняння є числа a і b. Тому S=a S=b – рішення даного рівняння. Для інших значень S маємо диференціальну форму: dS/[(S-a)(S-b)] = t2dt. Звідки легко отримати загальний інтеграл.
Рівняння вигляду H(y)W(x)y’ + M(y)J(x) = 0
Дозволивши даний вид рівняння відносно y’ отримаємо: y’ = – C(x)D(y) / A(x)B(y). Диференціальна форма даного рівняння буде така:
-
W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0
Для рішення даного рівняння потрібно розглянути нульові випадки. Якщо а – корінь W(x), x = a – інтеграл, оскільки з цього випливає, що dx = 0. Аналогічно, з випадком, якщо b – корінь M(y). Тоді для області значень х, при яких W і M не звертаються в нуль, можна провести поділ змінних шляхом ділення на вираз W(x)M(y). Після чого вираз можна інтегрувати.
Безліч видів рівнянь, до яких на перший погляд неможливо застосувати поділ змінних, виявляються такими. Наприклад, у тригонометрії це досягається за рахунок тотожних перетворень. Також часто може бути доречною яка-небудь дотепна заміна, після якої можна буде використовувати метод розділених змінних. Типи диференціальних рівнянь 1 порядку можуть виглядати самим різним чином.
Лінійні рівняння
Не менш важливий тип диференціальних рівнянь, рішення яких відбувається шляхом підстановки і зведення їх до методом відокремлених змінних.
- Q(x)y + P(x)y’ = R(x) – являє собою рівняння, лінійне при розгляді щодо функції і її похідної. P, Q, R – являють собою неперервні функції.
Для випадків, коли P(x) не дорівнює 0, можна привести рівняння до дозволенного відносно y’ увазі, поділивши всі частини на P(x).
- y’ + h(x)y = j(x), де h(x) і j(x) являють собою співвідношення функцій Q/P і R/P, відповідно.
Рішення для лінійних рівнянь
Лінійне рівняння можна назвати однорідним у випадку, коли j(x) = 0, тобто h(x)y+ y’ = 0. Таке рівняння називається однорідним і легко розділяється: y’/y = -h(x). Інтегруючи його, отримуємо: ln|y| = -H(x) + ln(C). Звідки y виражається у вигляді y = Ce-H(x).
Наприклад, z’ = zCos(x). Розділяючи змінні і приводячи до диференціального рівняння виду, після чого інтегруючи, отримаємо, що загальне рішення буде мати вираз y = CeSin(x).
Неоднорідним називається лінійне рівняння в загальному вигляді, тобто j(x) не дорівнює 0. Його рішення складається з декількох етапів. Спочатку слід вирішити однорідне рівняння. Тобто прирівняти j(x) до нуля. Нехай u – одне з рішень відповідного однорідного лінійного рівняння. Тоді має місце тотожність u’ + h(x)u = 0.
Проведемо y’ + h(x)y = j(x) заміну виду y = uv і отримаємо (uv)’ + h(x)uv = j(x) або u ‘v + uv’ + h(x)uv = j(x). Привівши рівняння до вигляду u(u’ + h(x)u) + uv’ = j(x) можна помітити, що у першій частині u’ + h(x)u = 0. Звідки отримуємо v'(x) = j(x) / u(x). Звідси обчислюємо первообразную ∫v = V+С. Провівши зворотну заміну, знаходимо y = u(V+C), де u – рішення однорідного рівняння, а V – первісна співвідношення j / u.
Знайдемо рішення рівняння y’-2xy = 2, яке належить до типу диференціальних рівнянь першого порядку. Для цього спочатку вирішимо однорідне рівняння u’ – 2xu = 0. Отримаємо u = e2x + C. Для простоти рішення покладемо C = 0, т. к. для вирішення поставленої задачі нам потрібно лише одне з рішень, а не всілякі варіанти.
Після чого проведемо підстановку y = vu і отримаємо v'(x)u + v(u'(x) – 2u(x)x) = 2. Потім: v'(x)e2x = 2, звідки v'(x) = 2e-2x. Тоді первісна V(x) = -∫e-2xd(-2x) = – e-2x + С. В результаті загальне рішення для y’ – 2xy = 2 y = uv = (-1)(e2x + З) e-2x = – 1 – Ce-2x.
Як визначити тип диференціального рівняння? Для цього слід розв’язати його відносно похідної і подивитися, можна скористатися методом розділення змінних безпосередньо або підстановкою.
