Однорідне диференціальне рівняння: особливості та рішення

Проаналізуємо один із важливих класів диференціальних рівнянь, які вирішувались зведенням до методу розділення змінних за рахунок підстановки – однорідні рівняння. Торкнемося методи рішення лінійних рівнянь, які часто плутають з однорідними.

Однорідні рівняння

Для початку дамо визначення. F – однорідна в тому випадку, якщо для неї вірно рівність f(kx, ky) = f(x, y), де k – будь-яке ненульове число. Приклади однорідної функції:

F =	g3+r3	A =	d2 + w2
	3g3 + 5r2g		2dw

Щоб переконатися в їх однорідності, досить аргументи функції F або A помножити на коефіцієнт і подивитися, чи не скоротиться.

Заміна e(t) = f(1, t)

Вище говорилося про те, що диференціальні рівняння з однорідними функціями зводяться до разделяющимся за рахунок заміни. Для пояснення цього розглянемо лемму.

Лема 1. Якщо w – однорідна функція першого ступеня з аргументами x і y, то вірно тотожність w(x, y) = e(y/x), e(t) = f(1, t).

Доводиться дана лемма тривіальним чином: для цього просто потрібно покласти k = 1/x для всіх ненульових x.

Застосування заміни в рішення y’ = f(x, y)

Припустимо, у нас є y’ = f, де f – однорідна функція. Для рішення однорідного диференціального рівняння на основі леми 1 ми можемо уявити y’ = e(y/x). Рівняння розв’язується шляхом поділу змінних. Покладемо y/x = v – шукана функція. Значить y = xv, а y’ = v + xv’. Отримаємо рівняння виду v + xv’ = e(v) або xv’ = e(v) – v.

Розглянемо його докладніше. В даному випадку рішеннями рівняння є всі значення v = vn – точки, в яких функція [e(v) – v] звертається в нуль. Відповідно, значення yn = vnx – є рішенням y’ = e(y/x). В області значень, де [e(v) – v] не звертається в нуль, можна застосувати розділення змінних. Тобто:

dv	=	dx
-v + e(v)	=	x

Інтегруючи, отримаємо рішення E = ln|x| + C.

Замітка

Розглянемо, чому вищеописана заміна працює при вирішенні однорідних диференціальних рівнянь. Для цього візьмемо загальне рішення E = ln|x| + C і замінимо x на kx y на ky: E = ln|kx| + C = ln(k) + ln|x| + C. У свою чергу вираз ln(k) + C може бути представлено як W, і тоді рішення буде виглядати як E = ln|x| + W.

Виходить, що заміна x на kx y на ky призводить лише до заміщення одного рішення іншим, але з того ж класу. Іншими словами, інше рішення також задовольняє вихідному рівнянню. Описане властивість на координатній площині називається гомотетией, тобто інтегральні криві однорідних диференціальних рівнянь переходять один в одного.

Приклад 1

Дано рівняння l2 + ml + m2l’ + m2 = 0. Знайдемо його рішення. Недосвідчений погляд може помилково квапливо укласти, що дане рівняння не однорідно, так як підстановка km замість m і kn замість n не дає вихідне рівняння. Помилка в даному випадку полягає в тому, що рівняння попередньо не було розв’язане відносно похідної n’. Зробимо.

l’ =	(-1)	l2+ml+m2
		m2

У даному вигляді легко визначити, що рівняння однорідне.

f(km, kl) =	(-1)[(km)2 + (kl)2 + k2ml]	=	(-1)(l2+ml+m2)k2	=	f(m, l)
	(km)2		m2k2

Приступимо до вирішення, зробивши заміну l/m = v. Отримаємо l = vm і l’ = mv’ + v. Підставимо ці значення у рівняння:

mv’ + v =	(-1)[m2 + (vm)2 + m(vm)]	=	(-1)(v2m2+m2v+m2)	= 1 – v2 – v
	m2		m2

Отримаємо mv’ = – (v+1)2. Очевидно, що точка -1 – ‘nj рішення рівняння, а до заміни n = -m. При v+1 не дорівнює нулю розділимо змінні:

–	dv	=	dm
	(v+1)2		m

З отриманого рівняння в диференціальній формі легко знаходиться загальний інтеграл:

ln\|Cm\|	=	1
		1+v

Проведемо зворотню заміну:

n	=	m – m*ln\|Cm\|
		ln\|Cm\|

Також слід не забувати про знайдений раніше рішення n = -m.

Лінійні диференціальні рівняння

Часто однорідні диференціальні рівняння плутають з лінійними. Для повноти питання розглянемо і цей клас. Отже, лінійним називається диференціальне рівняння, в якому функція і її похідна розташовуються в лінійній залежності, тобто одержуємо рівняння, якому властивий наступний вигляд:

o(x)y’ + w(x)y = e(x);

w, o, e – являють собою які-небудь функції.

Для вирішення цього рівняння відносно y’ необхідно розглянути всі корені o(x). Припустимо, що для деякого числа o(x0) = 0, тоді одним з рішень описаного рівняння буде x0, т. к. отримуємо o(x0)dy = 0 і dx = 0. Це стає очевидним, якщо записати диференціальну форму рівняння, помноживши на dx обидві частини: o(x)dy + w(x)ydx = e(x)dx.

Виключивши нульові значення o(x), для решти значень x записуємо рівняння в дозволеному вигляді, поділивши його на o(x).

Рішення лінійних диференціальних рівнянь

В даному класі рівнянь є два варіанти. Перший – коли вільний член p(x) дорівнює нулю (однорідне), і другий – коли p(x) не дорівнює нулю (неоднорідне). Отже, у нас є два таких випадки:

y’ + r(x)y = 0 – однорідне рівняння.
y’ + r(x)y = p(x) – неоднорідне рівняння.

Однорідне легко приводиться до розділеному вигляді y’/y = -r(x) або dy/y = -r(x)dx. Після інтегрування виходить загальне рішення для однорідних рівнянь: y = Ce-r(x).

У загальному випадку лінійне рівняння (неоднорідне) вирішується в кілька етапів:

Спочатку вирішується відповідає заданому рівнянню однорідно: p(x) умовно прирівнюється до 0. Припустимо, що u – це шукане рішення, тобто ми маємо u’ + r(x)u = 0. Запам’ятаємо це тотожність.

Введемо в неоднорідному рівнянні заміну y = uv, тоді (uv)’ + (uv)r(x) = p(x). Провівши деякі перетворення, маємо v(r(x)u + u’) + uv’ = p(x). Згадуючи тотожність з пункту 1, отримуємо v’u = p(x). В даному випадку з v’ = p / u легко знаходиться первісна.

У результаті рішення неоднорідного складається з двох частин: u(C+V), де u – рішення однорідного з нульовою постійною, а V – первісна для співвідношення p/u.

Ще одна плутанина однорідних рівнянь виникає при розгляді однорідних систем рівнянь. Однак це інше питання, розгляд якого виходить за межі даної статті.

Приклади

Дана задача. Треба знайти рішення.

y’ +	ty	=	t
	t2+1		√(t2+1)

Очевидно, дане рівняння неоднорідне, тому вирішимо спочатку наступне рівняння:

y’ +	ty	= 0
	t2+1

Слід зазначити, що одним з рішень рівняння є y = 0. Знаходження загального рішення відбувається через диференціальну форму, яка дозволяє скористатися поділом змінних:

dy	=	(-1)tdt
y	=	t2+1

Інтегрування призводить до вирішення: ln|y| = A – ln(1+t2)/2. Представивши A ln B, можна записати рішення більш витончено:

y	=	B
		√(t2+1)

Рішення неоднорідного рівняння виконаємо іншим, аналогічним способом, який називається методом варіації сталої, або метод Лагранжа. Опишемо його теоретично.

Зробимо в диференціальному рівняння виду r(x)y + y’ = p(x) заміну y = c(x)e-R(x), де R(x) – первісна r(x), (x) – невідома функція, яку потрібно визначити.

Після всіх перетворень з’ясовується, що c'(x) = eR(x)f(x). Звідки с(x) легко знаходиться інтегруванням. Підставляючи з(x) назад в y = c(x)e-R(x), отримуємо y = e-R(x)c(x) + De-R(x) – загальне рішення рівняння, де D – це постійна, яка виникає при інтегрування c(x).

Застосовуючи метод Лагранжа для нашої задачі, покладемо:

y	=	c(t)
		√(t2+1)

Підставивши цю заміну в початкове рівняння, знайдемо, що c(t) = (1/2)t2. Запишемо рішення неоднорідного рівняння:

y	=	x2	+	D
		2√(t2+1)		√(t2+1)

Розглянемо ще один приклад. Знайти рішення (x – 2xy – y2)dy + y2dx = 0. Зауважимо, що y = 0 – одне з рішень рівняння. Використовуючи цей факт, ми можемо поділити всі частини рівняння на вираз y2dy. Після проведення деяких перетворень отримаємо:

‘y	+	x(y)(1 – 2y)	=	1
		y2

Слід зазначити, що ми немов би розгорнули залежність. Чому ні? x і y функції є рівноправними і залежать один від одного. Тепер у нас вирішується не функція y(x), а x(y), і ‘ y – це ніщо інше, як похідна функції x(y) по змінній y. Або dx/dy. У даному вигляді легко визначити, що ми маємо справу з неоднорідним рівнянням, тому вирішуємо це однорідне рівняння так:

‘y	+	x(y)(1 – 2y)	=	0
		y2

Отримуємо x = Cy2e1/y. Залишається лише знайти варіаційним методом рішення початкового рівняння, поклавши x = y2c(y)e1/y. Після підстановки цієї заміни в рівняння, маємо: