Система лінійних рівнянь: методи і рішення

Класичне лінійне рівняння з двома змінними зазвичай виглядає так:

ах + ву + с = 0, де а, в і с — деякі числа, або коефіцієнти, а х і в — невідомі, які потрібно знайти.

Однак буває і так, що потрібно вирішити не одне рівняння, а
систему лінійних рівнянь — два, три і більше рівностей, об’єднаних під загальною фігурною дужкою, всі з яких будуть вірні при певному значенні х і у.

Рішення систем лінійних рівнянь.

У записі система рівнянь виглядає так:

Нам необхідно знайти такі значення х та у, при яких будуть вірні обидва наведених рівняння.

Втім, буває і так, що рішення для системи рівнянь не існує. У цьому випадку графіки двох і більше рівнянь на площині координат виявляються паралельні — тобто жодного разу не перетинаються.

Якщо ж у процесі вирішення з’ясовується, що систему лінійних рівнянь можна звести до двох однакових рівнянь, це називається невизначеністю — або нескінченним безліччю можливих рішень.

У всіх інших випадках дві прямі на координатній площині зможуть зустрітися лише один раз — а значить, точка їх перетину і буде рішенням. Виняток становлять лише ситуації, коли в умові задачі спеціально обумовлено, що х і у, приміром, більше або менше нуля або не рівні певним числам.

Якщо система рівнянь має рішення, але воно не задовольняє заданій умові, то у відповіді так і пишеться: при заданих умовах у системи рівнянь рішення немає.

Методи рішення систем лінійних рівнянь.

Зазвичай систему рівнянь розв’язують одним з трьох загальних методів:

1. Метод підбору — самий складний і довгий.

2. Метод побудови графіка. Накреслити на площині координат дві, три або більше прямих, відповідних рівнянь і знайти точку їх перетину — неважко. Однак даний метод підходить не у всіх випадках — наприклад, якщо в рівняннях задіяні дробу, точних результатів він не дасть.

Дивіться також:  Дні літнього сонцестояння і рівнодення

3. Методи математичного обчислення — такі, як метод Крамера, метод Гаусса або метод оберненої матриці. Саме вони зручніше і надійніше за все для розв’язання систем лінійних рівнянь.