Математичний висновок формули закону випромінювання
Висновок формули закону Стефана-Больцмана досить простий, для цього потрібно всього лише проінтегрувати по всіх частотах енергію, яка визначається законом Планка випромінювання чорного тіла. В результаті такого інтегрування можна показати, що стала Стефана-Больцмана визначається через інші фундаментальні фізичні постійні:
σ = 2pi5k4/(15c2h3),
тут pi = 3,14 (число пі), k = 1,38·10-23 Дж/К (постійна Больцмана), c = 3·108 м/с (швидкість світла у вакуумі), h = 6,63·10-34 Дж·с (постійна Планка).
В результаті обчислень отримуємо, що σ = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4), що точно відповідає експериментально значенню.
Приклад використання закону Стефана-Больцмана: температура поверхні Сонця
Використовуючи самостійно відкритий закон, Стефан визначив температуру поверхні нашої зірки – Сонця. Для цього він використовував дані Чарльза Сорета, згідно з яким щільність потоку сонячної енергії в 29 разів більше, ніж щільність електромагнітного випромінювання нагрітої металевої пластини. Пластину вчений розташував від детектора електромагнітного потоку під тим же кутом, під яким видно Сонце з Землі. В результаті Сорет оцінив температуру пластини в 1900-2000 °C. Стефан, в свою чергу, також врахував атмосферний поглинання сонячного випромінювання на Землі, припустивши, що реальний потік енергії від Сонця 43,5 рази більше такого від нагрітої пластини. Зазначимо, що точні вимірювання атмосферного поглинання сонячної енергії були проведені серії експериментів з 1888 по 1904 рік.
Далі, відповідно до закону Стефана-Больцмана можна легко показати, що температура поверхні Сонця повинна бути більше температури металевої пластини в 2,57 рази (для отримання цієї цифри необхідно взяти корінь четвертого ступеня від відношення енергетичних потоків випромінювання Сонця і пластини). Таким чином, Стефан отримав, що температура поверхні нашої зірки дорівнює 5713 (сучасне значення становить 5780 К).
Отримане значення температури поверхні Сонця було самим точним в XIX столітті. До робіт Стефана інші вчені отримували як дуже низькі температури поверхні Сонця (1800 °C), так і занадто високі її значення (13 000 000 °C).
