Рішення систем лінійних рівнянь методом Гауса з прикладом

Метод Гауса не вимагає ніяких глибоких математичних знань і доступний практично кожному — достатньо просто розуміти алгоритм обчислень і справлятися з найпростішими діями, такими, як додавання і множення. Крім того, цей метод підходить для тих випадків, коли застосувати методи Крамера або оберненої матриці неможливо за умовою задачі.

Розглянемо рішення систем рівнянь методом Гаусса на прикладі.

Приклад розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Вивчимо принцип роботи методу на прикладі, взявши наступну систему рівнянь:

Перше, що потрібно зробити, це записати нашу задачу у вигляді матриці розширеного виду — інакше кажучи, залишити в рівняннях тільки числові коефіцієнти.

Потім за допомогою елементарних перетворень отримана матриця приводиться до вигляду «трикутника». Робиться це в кілька кроків:

1. Перша і друга рядка матриці міняються місцями.

2. У другу, третю і четверту рядок додаються елементи першого рядка, помножені на – 5, 3 — 4.

3. Друга і третя рядки знову міняються місцями, в той час як до третьої та четвертої додаються елементи другого рядка, помножені на 4 і 1).

4. Потім з четвертого рівняння віднімається третє (помножене на 11 і – 3).

Записується все це наступним чином:

Отримана матриця перекладається назад у вихідну систему рівнянь:

Як видно з картинки, ми отримали потрібний «трикутник».

Тепер залишається тільки вирішити найпростіші рівняння.

5х4 = 30, отже, х4 = 6. Підставляємо результат в третій рядок:

Тепер, спираючись на отримані результати, вирішуємо рівняння з другого рядка:

І останній крок — знайти значення х1, що не складе ніякої праці, враховуючи вже наявні у нас дані:

Система рівнянь повністю вирішена. Можна записувати відповідь: х1 = 7, х2 = — 8, х3 = — 5, х4 = 6.

Дивіться також:  Акваріумна рибка тернеция: фото, види, умови утримання та догляд, сумісність і розведення